seo策略:音樂與數學

  從關于物質的理論所導出的結果,應該可以通過觀察對比進行檢驗。即使泰勒斯及其后繼者在當時已經明白這一點,他們也會發現這是一項異常艱巨的任務,部分原因在于希臘數學的局限性。巴比倫人在算術方面能力卓越,他們采用六十進制,而非十進制。他們還發展了一些簡單的代數技巧,如求解各種二次方程的計算法則(雖然未以符號表達)。但對早期希臘人而言,數學主要是幾何學。正如前文所述,柏拉圖時代的數學家已經發現了關于三角形和多面體的定理。歐幾里得在《幾何原本》中所提及的大部分幾何知識,早在其所處時代(公元前300年左右)之前就已廣為人知。但即便在那時,希臘人在算術方面也知之甚少,遑論代數、三角或微積分。
 
  最早用算術方法研究的現象可能是音樂,進行這項工作的是畢達哥拉斯的追隨者們。畢達哥拉斯是土生土長的愛奧尼亞薩摩斯島人,公元前530年左右移居意大利南部。在那里的希臘城邦克羅托內,他創立了一個教派,該教派一直延續到公元前300年。
 
  “教派”這個詞看來是合適的。早期畢達哥拉斯學派并無著作存世,但從他人的著作1可知,畢達哥拉斯學派相信靈魂轉世說。據傳他們身著白袍,禁食豆類,因為豆類形似人類胚胎。該學派組建了某種神權政體,公元前510年,在其統治下的克羅托內人將鄰邦錫巴里斯夷為平地。
 
  畢達哥拉斯學派在科學史上留下的一筆,是他們對數學的狂熱。亞里士多德在《形而上學》2中談道:“自稱為畢達哥拉斯學派的成員,以獻身數學為己任;他們率先推進這一學科,由于長期浸淫于數學環境,他們認為數是萬物本原。”
 
  畢達哥拉斯學派對數學的強調,或許源于對音樂的觀察。他們注意到,演奏弦樂器時,同時撥動粗細均等、材質相同、松緊一致的兩根弦,若其弦長比例恰為兩個小整數之比,則樂聲和諧動聽。最簡單的情況為一弦的長度恰為另一弦的一半。按照現代的說法,我們將兩弦的音程稱為一個八度,并把它們產生的音用同一字母表示。若兩弦長度之比為2∶3,產生的音程會形成一個“五度”,這是一種特別悅耳的和聲。若兩弦長度之比為3∶4,產生的動聽和聲稱為“四度”。相反,若兩弦長度并非兩個小整數之比(例如兩弦長度之比為100 000∶314 159),或完全不成整數比,產生的音就不會那么好聽。如今我們知道,這一現象的影響因素有兩個:一是兩根弦同時發出的聲音的周期性,二是每根弦發出的泛音的匹配度(見技術札記3)。畢達哥拉斯學派并不理解這些原理,在17世紀法國牧師馬林·梅森(Marin Mersenne)發表其著作之前,世人對此也一無所知。但根據亞里士多德的描述,畢達哥拉斯學派認為“整個天堂是一個音階”3。這一思想對后世影響深遠。例如,西塞羅在《論共和國》(On the Republic)中講述了一個故事,其中羅馬大將大西庇阿(Scipio Africanus)的鬼魂向他的孫子介紹了天體樂音。
 
  畢達哥拉斯學派最富成果的研究領域并非物理學,而是純數學。人人都聽說過勾股定理(畢達哥拉斯定理),即以直角三角形斜邊為邊的正方形的面積,等于分別以該三角形的兩直角邊為邊的兩個正方形面積之和。無人知曉是哪一位畢達哥拉斯學派的成員證明了這條定理,也沒有人知道他的證明方法。與柏拉圖同時代的畢達哥拉斯學派成員,塔林敦的阿契塔(Archytas of Tarentum)提出了一個比例理論,據之可以給出一個對勾股定理的簡單證明。[見技術札記4。歐幾里得《幾何原本》(第1卷)命題46的證明較為復雜。]阿契塔也解決了一個著名問題,即給定一個立方體,在其基礎上構建另一個體積恰為其兩倍的立方體,雖然他使用的不是純幾何方法。
 
  勾股定理的問世,直接導致了另一重大發現:幾何結構的長度可以是無法表示為整數之比的數值。若一直角三角形的兩條直角邊長度均為1(計量單位省略),那么以這兩條邊為邊的兩正方形的總面積為12+12=2。根據勾股定理,該三角形斜邊長度是平方為2的數。而平方為2的數無法表示為整數之比,證明這一點并非難事(見技術札記5)。歐幾里得在《幾何原本》(第10卷)中給出了證明方法,而此前亞里士多德在其著作《前分析篇》(Prior Analytics)4中也將其作為反證法的例子提及,但并未注明出處。傳說中畢達哥拉斯學派成員希帕索斯(Hippasus,可能來自南意大利的米太旁登)最早發現了這一現象,而他卻因為泄露這一秘密遭到畢達哥拉斯學派的殘酷迫害,一說為被流放,一說為被殺害。
 
  今天我們可能會將此事件描述為人們發現了以2的平方根為例的無理數——這些數無法表示為整數之比。據柏拉圖記載5,昔蘭尼的西奧多羅斯(Theodorus of Cyrene)認為3,5,6,…15,17等數(即除了1,4,9,16等本身是整數平方的數以外的所有整數,盡管柏拉圖并未如此表述)的平方根同樣皆為無理數。但早期希臘人不會這樣表述。柏拉圖關于其表述的譯文是:面積為2,3,5等平方英尺的正方形的邊與一英尺“不成比例”。早期希臘人對有理數以外的其他數一無所知,對他們而言,2的平方根只能用幾何意義給出,這種局限也進一步阻礙了算術的發展。
 
  對純數學的關注,在柏拉圖學院得到繼承。據說學院入口處有一標識:“不懂幾何者禁入”。柏拉圖本人并非數學家,但對數學滿腔熱忱,部分原因或許是,他曾前往西西里島的錫拉庫薩指導狄奧尼修斯二世,途中會見過畢達哥拉斯學派的阿契塔。
 
  雅典的泰阿泰德(Theaetetus of Athens)是柏拉圖學院中的一位數學家,柏拉圖深受其影響,將其作為一篇對話錄的標題人物及另一篇的討論對象。人們認為5種正多面體是由泰阿泰德發現的,而正如我們所看到的,這些正多面體為柏拉圖的元素理論提供了依據。歐幾里得在《幾何原本》中證明了這些是僅有的凸正多面體[1],而這個證明可能源自泰阿泰德;此外,泰阿泰德還對當今被稱為無理數的理論做出了貢獻。
 
  公元前4世紀最偉大的希臘數學家可能要數尼多斯的歐多克斯(Eudoxus of Cnidus),他是阿契塔的學生,與柏拉圖是同時代人。歐多克斯一生主要居住在小亞細亞海岸的尼多斯,但他曾求學于柏拉圖學院,之后返校執教。歐多克斯并無著作存世,但他被認為解決了大量困難的數學問題,例如說明了圓錐的體積是同底同高圓柱體體積的1/3。(他如何在沒有微積分的條件下得出該結論,我毫無頭緒。)但他對數學最大的貢獻是引入了嚴謹的風格,即定理應從明確陳述的公理推導得出。這也正是我們在歐幾里得的著作中所看到的風格。事實上,人們將歐幾里得《幾何原本》中的很多細節都歸功于歐多克斯。
 
  歐多克斯和畢達哥拉斯學派對數學的發展本身是一項偉大的智力成果,但對自然科學而言卻是禍福參半。首先,歐幾里得的《幾何原本》中所采用的數學寫作推理風格,不斷地被自然科學家以不甚恰當的方式模仿。正如我們將要看到的,亞里士多德關于自然科學的文字鮮少涉及數學,但有時聽起來就像對數學推理的拙劣模仿,例如他在《物理學》(Physics)中對運動的討論:“A在時間C內通過B,并在時間E內通過較稀薄的D(假設B與D長度相等),通過的時間與阻礙物的密度成正比。不妨假設B是水,D是空氣。”6希臘物理學最重要的著作大概是阿基米德的《論浮體》(On Floating Body),我們將在第四章詳細討論。這本書看似用數學文體寫成,先擺出無可爭議的假設,再由之推理出特定命題。阿基米德很聰明地選擇了正確的假設,但他的科學研究實在是集演繹、歸納與猜測于一體的大雜燴。
 
  與風格問題相關但更為重要的一點是,數學促生了一個錯誤目標:人們企圖憑借個人智慧得出一定的真理。柏拉圖在《理想國》中討論了哲學家之王的教育問題,他筆下的蘇格拉底主張用研究幾何學的方法研究天文學。蘇格拉底認為,仰望天空或許有助于激發天文智慧,正如端詳幾何圖形有助于啟發數學思想一樣,但不論在何種情況下,真正的知識都只能源于思考。蘇格拉底在《理想國》中解釋道:“我們應該僅將天體作為例證,幫助我們研究其他領域,就像我們面對特殊的幾何圖形那樣。”7
 
  數學是一種手段,我們利用它來推導出符合物理原理的結果。更重要的是,它是表達物理科學原理的必不可少的語言。數學常常激發關于自然科學的新思想,科學的需求很多時候也相應地推動數學的發展。愛德華·威滕(Edward Witten)是一位理論物理學家,他所做的研究極大地豐富了人們對數學的認知,他本人也于1990年被授予數學界的最高榮譽——菲爾茲獎。但數學并非自然科學。如果沒有觀察,數學本身并不能揭示世界上任何事物,數學定理也不會因為人們對世界所做的觀察而被證實或推翻。
 
  然而古人并不了解這一點,近代早期的人們對此也是一知半解。在前文中我們已經看到,柏拉圖和畢達哥拉斯學派認為數學對象如數字或三角形是自然界的基本成分;接下來我們還將看到,一些哲學家將數學天文學視作數學的一個分支,而非自然科學的一部分。
 
  數學與科學之間的區別已充分澄清。但讓我們百思不得其解的是,雖然數學的發明與自然現象無關,但它卻常常在物理理論中發揮作用。在一篇著名的文章中8,物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)提出“數學的過分有效性”,但我們通常不難把數學思想與科學原理區分開來——后者需要通過觀察世界得到最終證實。
 
  數學家與科學家間或發生的沖突,一般與數學嚴謹性相關。自19世紀早期以來,純數學家們視嚴謹為必需:定義和假設必須精確,推理過程必須絕對肯定。物理學家則比較靈活,只要求一定程度的精準性以避免產生嚴重錯誤。在關于量子場論的論文的序言中,我坦言“該論文的部分內容會令數學愛好者垂淚”。
 
  溝通的問題由此產生。數學家告訴我,他們經常發現物理學文獻含糊其辭,令人惱火。像我這樣需要運用先進數學工具的物理學家時常看到的現象,則是數學家為追求嚴謹而將其作品復雜化,寫出在物理學家看來了然無趣的文字。
 
  一些愛好數學的物理學家不遺余力,將現代基本粒子物理學體系——量子場論——建立在嚴謹的數學基礎之上,并取得了一些有趣的進展。但回望過去半個世紀以來基本粒子標準模型所取得的發展,沒有一件得益于數學嚴謹性的提高。
 
  歐幾里得之后,希臘數學研究的盛況不衰。在第四章中,我們將提到之后的希臘化時期(Hellenistic)的兩位成就卓著的數學家:阿基米德和阿波羅尼奧斯。
 
  [1]事實上(如技術札記2中所述),不論泰阿泰德所證明的內容為何,《幾何原本》并未如它所聲稱的那樣,證明了恰有5種可能的凸正多面體這一命題。《幾何原本》確實證明了對于正多面體,其各面邊數與相匯于各個頂點的面數的組合只有5種。但這并不能證明對于每一種邊數和面數的組合,恰好只有一種可能的凸正多面體。

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